Analysis of dynamical systems via normal forms

Resumen

Desde hace muchos años los problemas de la dinámica han sido objeto de estudio por científicos de distintas épocas. Podemos decir que los sistemas dinámicos se ocupan del estudio de los modelos de evolución de los sistemas en un cierto espacio (espacio de fases). Los más conocidos, y estudiados por Newton, son los problemas de la mecánica celeste, es decir, el estudio de movimientos de cuerpos dentro del sistema solar. Los orígenes del desarrollo de la teoría de sistemas dinámicos, tal y como la conocemos actualmente fue iniciada por el matemático francés Henri J. Poincaré y se remonta a los años 1892-1899, en sus trabajos sobre el problema de los tres cuerpos de la mecánica celeste. Poincaré desarrolla una serie de nuevas técnicas de donde se originan lo que son la geometría y la topología modernas. Nos centraremos en esta memoria en el caso de sistemas autónomos, es decir, en sistemas donde la variable temporal no aparece explícitamente en el campo vectorial que describe el sistema. Nuestro objetivo será determinar cómo queda estructurado el espacio de fases por las curvas solución. En la presente memoria realizaremos este estudio mediante el uso de ditintas herramientas como son la búsqueda de integrales primera o de factores integrantes inversos. Previo a la búsqueda de estas herramientas intentaremos buscar una simplificación de la expresión analítica del campo vectorial. La más importante de ellas es la reducción a forma normal. La teoría de formas normales (también llamada forma normal clásica) fue introducida por Poincaré, utilizando cambios de variables de la forma identidad más términos no lineales, utilizados más tarde por Dulac y Liapunov, y desarrollados posteriormente por Birkhoff. A continuación describimos la organización de este trabajo y los resultados obtenidos: En el capítulo primero estudiamos los centros de campos vectoriales quasi-homogéneos planos hasta grado 4, realizando una clasificación de los mismos. Dicho estudio nos ha permitido extender el trabajo realizado por Libre y Pessoa. Además, en cada caso, realizamos un estudio de la reversibilidad y la integrabilidad analítica de cada uno de los centros. Debemos destacar que hemos encontrado centros que no son reversibles ni analíticamente integrables, lo cual representa un nuevo escenario respecto del estudio de los centros no degenerado y los centros nilpotentes. En la parte final del Capítulo 1, hacemos una introducción a la estabilidad estructural, definiendo este concepto para campos quasi-homogéneos. En dicho trabajo se ha conseguido generalizar algunos resultados como los de Llibre, del Río y Rodríguez los obtenidos por Oliveira y Zhao. En el capítulo segundo hacemos una revisión de la teoría de formas normales. En primer lugar, realizamos un breve resumen de la formas normales clásicas y describimos las formas normales quasi-homogéneas bajo conjugación y equivalencia. Hacemos uso del Poliedro de Newton para describir la elección de un tipo adecuado, mostrando diferentes ejemplos para la elección de dicho tipo. Describimos la forma normal de paso cero (concepto que generaliza al de forma canónica de Jordán en el caso lineal). Describimos el uso del triángulo de Lie en el caso quasi-homogéneo y, por último, aplicamos estas técnicas al cálculo de la forma normal de un caso particular de la singularidad Takens-Bogdanov. En el capítulo tercero, dedicado a las formas normales quasi-homogéneas planas, introducimos dos descomposiciones de campos vectoriales planos, las cuáles nos han permitido mostrar, de una forma relativamente simple, la expresión de una forma normal a orden infinito, de familias de campos vectoriales cuyas componentes quasi-homogénea principales poseen una singularidad nilpotente o son degeneradas. En el capítulo cuarto, hacemos uso de estas formas normales para estudiar la integrabilidad analítica de campos vectoriales planos y caracterizar teóricamente la existencia de factor integrante inverso, tanto algebraico como formal, (esto es, damos condiciones necesarias y suñcientes de existencia) para campos vectoriales planos que son perturbaciones de sistemas hamiltonianos degenerados. Finalmente, en el capítulo cinco, generalizamos el cálculo de las formas normales planas a campos vectoriales tridimensionales. Como aplicación realizamos el cálculo, usando nuestras técnicas, de la forma normal de un caso de la singularidad Hopf-zero, y de la triple-zero.