P-continuous vector-valued functions

Resumen

Esta tesis se centra en el estudio de funciones vectoriales p-contlnuas, Son funciones definidas en un espacio de Hausdorff compacto con valores en un espacio de Banach cuyo rango es p-compacto (1 < p < oo). Un subconjunto K de un espacio de Banach X es relativamente p-compacto si existe una sucesión (xn)e/p(X) ((xn) e Co(X) si p = oo) tai que K c {£n ct^Xn : |an[p' < 1}, donde p1 es el índice conjugado de p (i.e,, 1/p + 1/p' - 1, con l/oo = 0). Desde este punto de vista, la noción de compacidad puede ser vista como el caso particular de oo-compacidad. Ei conjunto de todas estas funciones se denota por Cp(fi,X), donde n es un espacio de Hausdorff compacto y X es un espacio de Banach. La tesis ha sido organizada como sigue. En el Capítulo 1, presentamos el espacio de las funciones p-continuas con valores en X, CP(Q,X), y probamos que es isomètricamente isomorfo a 0(0)®^, donde dp es la norma tensorial de Chevet-Saphar a derecha. También introducimos el espacio de las funciones vectoriales incondicionalmente p-continuas de un modo naturai y lo caracterizamos también mediante un producto tensorial. Los productos tensoriales juegan un papel importante en este capítulo. Ambas caracterizaciones se basan, entre otros, en un importante resultado sobre operadores a- nucleares, que demostramos. Este capítulo se basa en [57]. El Capítulo 2 recoge algunas propiedades topológicas de Cp(D,X). A saber, obtenemos resultados relativos a la densidad de funciones vectoriales simples en B(£)®dpX (donde B(£) denota el espacio de tas funciones escalares medibies Borei definidas en n), inclusiones complementadas de C(o) y X en Cp(n,X), y sucesiones en Cp(n,X). En este capítulo también estudiamos las convergencias débil y débil* de sucesiones en CP(Q,X). Ei Capítulo 3 se centra en un resultado clásico dei Análisis: la representación integral de operadores definidos sobre funciones continuas. En particular, establecemos dos teoremas de representación integral: uno para operadores S e L(C(ü),L(X,Y)) (que extiende el teorema clásico de representación de Bartie-Dunford-Schwartz), y otro para operadores U e L(Cp(íi,X),Y) (que extiende el teorema clásico de representación de Dinculeanu- Singer). Nosotros proporcionamos una demostración alternativa más simple de este último resultado usando el primero. También construimos la teoría de integración necesaria. Este capítulo se basa en [59]. Ei Capítulo 4 trata del operador asociado U# definido en el Capítulo 3. Todo operador U e L(Z®aX,Y) tiene un operador asociado U# e L(Z,L(X,Y)) definido de un modo natural. En este capítulo, estudiamos el problema de la existencia de un operador U e L(Z®aX,Y) tal que U# = S para un operador S e L(Z,L(X,Y)) dado, resolviendo una antigua conjetura de Dinculeanu. Este capítulo se basa en [58]. Ei Capítulo 5 está dedicado al estudio de los operadores absolutamente (r,q)-sumantés de Cp(Q,X) en Y. Estudiamos ia relación entre U, su operador asociado U#, y su medida representante (construida en el Capítulo 3). Ya que Cco(0,X) = C(D,X), esto engloba no sólo el teorema clásico de Swart sobre operadores absolutamente sumantes de C(fì,X) en Y sino también las extensiones que existen, proporcionando una mejora incluso al teorema clásico de Swartz. Se muestran varios contraejemplos para indicar la precisión de nuestros resultados. Este capítulo se basa en [60].