Contribución a la teoría cualitativa de sistemas dinámicos

Resumen

En esta memoria abordamos tres problemas fundamentales dentro de la teoría cualitativa de sistemas dinámicos. En un sentido amplio, el objetivo de la teoría de sistemas dinámicos es determinar la estructura del conjunto de soluciones de sistemas que modelan la evolución a través del tiempo de determinados fenómenos. En primer lugar, consideramos el problema de determinar la expresión analítica más simple en la que se puede transformar un sistema autónomo, mediante cambios en las variables de estado y en en el tiempo y con ello calcular el conjunto de invariantes de un campo vectorial. Este concepto es referido por algunos autores como forma normal única ( o hipernormal). Demostraremos que estas simplificaciones se pueden llevar a cabo mediante procedimiento lineales y proporcionamos un método para obtener mayores simplificaciones en la forma normal, llegando con ello a calcular la forma normal única. Otro problema que hemos abordado en esta memoria es el problema de la reversibilidad orbital de un sistema. Consiste, a grandes rasgos, en determinar si existe un cambio de variables en las variables de estado y una reparametrización en el tiempo de modo que el sistema resultante sea reversible respecto de una involución lineal. Adaptamos las ideas de la teoría de formas normales bajo equivalencia para caracterizar la reversibilidad orbital. Centrándonos en sistemas planos, la idea es reducir el sistema a una pre-forma normal y después analizar la reversibilidad respecto de los ejes (axis-reversibilidad) módulo orbital equivalencia, a través de las propiedades de las curvas invariantes del campo vectorial. Estas técnicas son aplicadas para calcular familias de centros. Completamos algunas familias de centros nilpotentes que habían sido parcialmente caracterizadas en la literatura. Por último, hemos abordado el problema de la integridad analítica de un campo vectorial plano. Este problema, en campos planos cuya primera componente cuasi-homogénea es hamiltoniana y su función de Hamilton tiene factores simples en su factorización en C [x,y], está complemente resulto en [1]. Sin embargo, cuando la función de Hamilton de la primera componente tiene factores múltiples en C [x,y] es un problema abierto. En este caso es donde se enmarca nuestro problema. Hemos considerado un sistema nilpotente degenerado, para el que obtenemos una orbital equivalente forma normal, que posteriormente transformamos en un sistema cuya primera componente cuasi-homogénea es irreducible. Proporcionamos condiciones necesarias para la integrabilidad del sistema.