Bifurcaciones locales y globales en sistemas dinámicos y autónomos

Resumen

En esta memoria analizamos determinados aspectos de la dinámica en varios sistemas tridimensionales. En los dos primeros capítulos estudiamos singularidades en el modelo de Lorenz. En el capítulo 1 llevamos a cabo un estudio completo de la bifurcación de Hopf que experimentan tanto el equilibrio en el origen como los equilibrios no triviales, así como sus degeneraciones. Demostramos la existencia de bifurcaciones de codimensión uno, dos y tres y de regiones del espacio de parámetros donde el equilibrio en el origen experimenta una bifurcación de Hopf degenerada de codimensión infinita. En el capítulo 2 estudiamos la bifurcación de Takens-Bogdanov del equilibrio en el origen. Determinamos para qué valores de los parámetros es de tipo homoclino o de tipo heteroclino, así como sus degeneraciones. En concreto, cuando es de tipo homoclino, encontramos una degeneración de codimensión infinita. El estudio numérico detallado que llevamos a cabo nos permite encontrar bifurcaciones de Takens-Bogdanov de órbitas periódicas. Estas degeneraciones de codimensión dos organizan bifurcaciones (de ruptura de simetría, de duplicación de periodo, sillas-nodo y a toros) en las correspondientes órbitas periódicas, de forma que la presencia de caos de Shilnikov está garantizada en algunos casos. En el capítulo 3 estudiamos una bifurcación doble-cero en un modelo triparamétrico que despliega la bifurcación triple-cero del sistema de Lorenz. Demostramos que organiza a su alrededor varios tipos de bifurcaciones (transcrítica, pitchfork, Hopf y ciclo heteroclino) y damos las expresiones aproximadas de las curvas correspondientes. El estudio numérico nos permite detectar varias conexiones homoclinas y heteroclinas degeneradas, ciclos heteroclinos puntos T y atractores caóticos. Así mismo, obtenemos cuatro curvas de bifurcaciones globales de codimensión dos que están relacionadas con la bifurcación triple cero. En el capítulo 4 consideramos un sistema tridimensional, biparamétrico, cuyas ecuaciones sólo tienen seis términos y dos no linealidades. Comenzamos estudiando la bifurcación de Hopf de su único equilibrio. Después, un cuidadoso estudio numérico de las conexiones homoclinas, en la región en que dicho equilibrio es silla real, nos permite detectar una bifurcación homoclina flip de tipo Cin. Se trata del primer ejemplo en la literatura de un sistema tridimensional que experimenta esta bifurcación, la cual conlleva la presencia de comportamientos caóticos. Por último, en el capítulo 5, para complementar los resultados obtenidos en el capítulo 3, nos interesamos por el análisis de la bifurcación doble-cero que experimenta el equilibrio del origen en el sistema de Lorenz. Como en este caso el equilibrio no es aislado, no podemos utilizar las técnicas analíticas usuales. Para solventar esta dificultad añadimos un nuevo término cuadrático en la tercera ecuación del sistema de Lorenz. El estudio teórico de esa singularidad en este sistema cuasi-Lorenz nos garantiza, para ciertos valores de los parámetros, la existencia de un ciclo heteroclino. A continuación, el análisis numérico en el espacio de parámetros de esta conexión heteroclina nos permite detectar ciertas degeneraciones de las conexiones globales que actúan como centros organizadores de la compleja dinámica del sistema. Si observamos la evolución de este conjunto de degeneraciones cuando el coeficiente del nuevo término introducido se aproxima a cero, podemos entender, en el sistema de Lorenz, el origen de una sucesión infinita de conexiones globales que ya se mencionaba en la literatura, pero cuyo origen era desconocido.